完全錯誤的負數(shù)定義　　

內(nèi)容提要：本文對初中一年級數(shù)學課本中的正數(shù)和負數(shù)概念進行了深入分析與考察，判定“意義相反的量”包含性質(zhì)相反的量和界位相反的量兩個有本質(zhì)差別的內(nèi)容，證明數(shù)軸上的正數(shù)和負數(shù)是假正數(shù)和假負數(shù)，肯定了我國數(shù)學家劉徽提出的正、負數(shù)定義，否定了“負數(shù)是比零小的數(shù)”這一從西方引進的負數(shù)定義，從而為最終掃除“虛數(shù)”迷霧奠定了理論基礎。　　

主題詞：負數(shù)   定義   批判　　

     負數(shù)概念，在數(shù)學史上曾經(jīng)出現(xiàn)過兩個定義。第一個定義是我國魏晉時期的大數(shù)學家劉徽（225年—295年）于公元263年在《九章算術注》中提出的。《九章算術》是我國西漢初期的歷算學家張蒼和耿壽昌先后收集并增補先秦《九數(shù)》遺文而編定的數(shù)學經(jīng)典。在《九章算術》第八章中有一段話專門記述了正數(shù)、負數(shù)和零混合加減的處理辦法。原文是：“正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。”在這八句正負術口訣中，“同名”、“異名”分別指同號、異號；“相益”、“相除”分別指兩數(shù)的絕對值相加、相減；“無入”是指本應先在的合并對象不存在，也就是被加數(shù)或被減數(shù)為零；前四句口訣講的是正數(shù)、負數(shù)和零的減法法則，意思是同號兩數(shù)相減，將絕對值相減，異號兩數(shù)相減，將絕對值相加，零減去正數(shù)得負數(shù)，零減去負數(shù)得正數(shù)；后四句口訣講的是正數(shù)、負數(shù)和零的加法法則，意思是異號兩數(shù)相加，將絕對值相減，同號兩數(shù)相加，將絕對值相加，零加正數(shù)得正數(shù)，零加負數(shù)得負數(shù)。這些法則與今天的正、負數(shù)加減運算法則是一致的。可惜的是，《九章算術》沒有論及正數(shù)和負數(shù)的定義，此缺陷一直延續(xù)四百多年，直到劉徽給《九章算術》作注時才得以彌補。劉徽在注釋“正負術”時，一開始就給正數(shù)和負數(shù)下了定義，他明確指出：“今兩算得失相反，要令正負以名之。正算赤，負算黑。否則以邪正為異。”這幾句話的意思就是：當兩數(shù)在加法運算中會引起增加和減少兩種相反結(jié)果時，要用“正數(shù)”和“負數(shù)”對這兩種數(shù)分別命名；正數(shù)用紅色算籌表示，負數(shù)用黑色算籌表示，否則就用斜著擺放與正著擺放的算籌分別代表負數(shù)和正數(shù)，以顯示對負數(shù)和正數(shù)的區(qū)別。從劉徽這幾句話里，我們可以看到兩個思想要點：其一是，進行正負數(shù)命名的前提條件是“兩算得失相反”，即“兩算”的性質(zhì)相反，是相互抵消關系，“兩算”是在相反的數(shù)量關系中同時存在的，它們互為對立面；其二是，當“兩算得失相反”時，必須對相反的“兩算”進行區(qū)分，不僅是“要令正負以名之”，即用“正”“負”相反的名稱把“兩算得失相反”的本質(zhì)體現(xiàn)出來，而且在有了“正”“負”相反的名稱之后還要在運算過程中選用一定的方式把“兩算”相反的性質(zhì)予以標明、顯示，不管采用什么方式都可以，但不能不標示，不能不區(qū)分。根據(jù)劉徽的這幾句話我們得知：正數(shù)和負數(shù)就是用以區(qū)分和表示在運算中相互抵消的“兩算”——兩種量——的數(shù)，正數(shù)和負數(shù)互為對立面。　　

     公元七世紀期間，印度數(shù)學家也深入探討了正數(shù)和負數(shù)。在這些數(shù)學家中有著名的婆羅摩及多，他把正數(shù)叫做“財產(chǎn)”，把負數(shù)叫做“負債”，還采用在數(shù)字上面標上方向相反的箭頭這種簡便明確的方式區(qū)別正數(shù)和負數(shù)。印度數(shù)學家很早就發(fā)現(xiàn)正數(shù)的平方根有兩個值①，但是他們沒有提出正數(shù)和負數(shù)的定義。　　

    在數(shù)學史上，提出負數(shù)第二個定義的是德國數(shù)學家米哈依爾.史提非（約1486年—1567年），他在發(fā)表于1544年的數(shù)學論文《整數(shù)算術》中，把負數(shù)定義為“比零小的數(shù)” ②。　　

      對于史提非的這個定義，許多人感到難以接受，因為人們認為，零的本義是表示什么也沒有，已經(jīng)是最小的數(shù)了，不可能再小了。但是，要說人們完全不承認史提非的定義，也不確切，事實上也確有人認為負數(shù)只能比零小，因為負數(shù)只有在被減數(shù)小于減數(shù)時才出現(xiàn)，它所表示的是減數(shù)把被減數(shù)減完之后又繼續(xù)往下減的結(jié)果，這就和一個人把屬于自己的財產(chǎn)用盡之后又借了貸、負了債一樣。兩種觀點似乎都有道理，于是人們陷入了困惑之中。美國著名數(shù)學評論家M.克萊因在他的著作《數(shù)學：確定性的喪失》中對這種困惑進行了反映，他寫道：“在16、17世紀，并沒有許多數(shù)學家心安理得地使用或者承認負數(shù)，更談不上承認它們可以作為方程的真實的根。”③但是，歷史并不因為困惑而停頓。讓人難以置信而又必須承認的是，人們（其中包括史提非）正是在困惑中打破了長期存在的減數(shù)不能大于被減數(shù)的認識局限，終于寫出了3－5＝－2之類的運算式子。更讓人難以相信的是，法國偉大哲學家、數(shù)學家笛卡爾也對“負數(shù)是比零小的數(shù)”之說法長期困惑，但也就是他，一邊因為負數(shù)是比零小的數(shù)而把方程的負根稱作假根，一邊又在《幾何學》中為具有劃時代意義的平面直角坐標系新理論奠定了基礎，④促使數(shù)學得到了空前的發(fā)展。這種不合邏輯的現(xiàn)象應該怎樣解釋呢？這是值得每個關心科學發(fā)展和人類進步的人認真深思的問題。　　

     令人遺憾的是，時至今日沒有人對負數(shù)的第二個定義所引起的困惑作出令人滿意的解答，時至今日也沒有人對負數(shù)的兩個明顯不統(tǒng)一的定義給予深入的剖析和評斷，甚至沒有人提到過負數(shù)有兩個互不協(xié)調(diào)的定義；而最能體現(xiàn)和反映當今數(shù)學界主流思想的數(shù)學教科書竟然對正數(shù)和負數(shù)的概念作出含糊的處理，竟然在不知不覺的情況下完成了兩次偷換概念，最終舍棄正、負數(shù)的正確定義，肯定了正、負數(shù)的錯誤定義。讀者如果不相信這是事實，請看經(jīng)全國中小學教材審定委員會2001年初審通過的初中一年級數(shù)學課本。　　

    為了避免考察對象缺乏代表性，筆者曾對我國改革開放以來的幾種初中一年級數(shù)學課本進行反復對照，認為最新課本中涉及正、負數(shù)概念的內(nèi)容與前幾種課本中的相應內(nèi)容大同小異，可以肯定不是一家之言，不是無源之言，也可以肯定不是偶然失誤。筆者之所以要選定最新數(shù)學課本為考察對象，一是因為它是課本，是專門用來教育人的，只要有錯誤就必然引起大范圍的不良影響；二是因為它比較集中比較系統(tǒng)比較明白地體現(xiàn)和反映了數(shù)學界對正數(shù)和負數(shù)概念的錯誤認識，而且這種錯誤已經(jīng)給整個數(shù)學體系帶來了連帶性惡果，引出了邏輯性謬誤，如果不徹底糾正這種錯誤，就提不出新的數(shù)概念，就不會有在新的數(shù)概念名義下的運算法則，因而也就不能對負數(shù)開平方作出合理的令人心服口服的科學解釋。那么，數(shù)學教科書究竟錯在什么地方呢？　　

在經(jīng)全國中小學教材審定委員會2001年初審通過的初中一年級數(shù)學課本中，第二章前五節(jié)依次講述了正數(shù)和負數(shù)概念、數(shù)軸概念、相反數(shù)概念、絕對值概念、有理數(shù)的大小比較；后十節(jié)依次講述了有理數(shù)加減乘除和乘方運算法則等。這一章課文（下文考察內(nèi)容主要是這一章，不再指明）從表面上看是一環(huán)緊扣一環(huán)，井井有條，結(jié)構(gòu)十分嚴謹，明白無誤，但仔細考究起來，卻不能不讓人得出相反的結(jié)論：基本概念含糊、扭曲，被以假充真；內(nèi)容前后矛盾。筆者經(jīng)反復探討，把其中存在的原則性失誤歸納為三大項：正數(shù)和負數(shù)概念含糊扭曲，數(shù)軸表示的對象含糊扭曲，絕對值概念含糊扭曲。下面，我們就對這三大項依次論證：　　

㈠正數(shù)和負數(shù)概念含糊、扭曲　　

新課本第二章第一節(jié)是專講正數(shù)和負數(shù)概念的。為了說明什么是正數(shù)和負數(shù)，課文一開始就列舉出五個例子：　　

例1、汽車向東行駛　3千米　和向西行駛　2千米　 ； 　　

例2、溫度是零上　10°c　和　零下5°c　；　　

例3、收入500元和支出237元；　　

例4、水位升高　1.2米　和下降　0.7米　；　　

例5、買進100輛自行車和賣出20輛自行車。　　

課文舉例之后歸納道：　　

      這里出現(xiàn)的每一對量，雖然有著不同的具體內(nèi)容，但有著一個共同特點：它們都是具有相反意義的量。向東和向西、零上和零下、收入和支出、升高和下降、買進和賣出都是具有相反的意義。　　

課文指出五個例子的“共同特點”之后又指出，若“只用原來學過的數(shù)很難區(qū)分具有相反意義的量”。接下來就提出區(qū)分的辦法：　　

     一般地，對于具有相反意義的量，我們可把其中一種意義的量規(guī)定為正的，用過去學過的數(shù)表示；把與它意義相反的量規(guī)定為負的，用過去學過的數(shù)（零除外）前面放一個“－”號來表示。　　

課文講完區(qū)分“具有相反意義的量”的辦法，馬上就用所列舉的例子進行演示，把例1中汽車向東行駛　3千米　記為　3千米　，向西行　2千米　記為－　2千米　；把例2中零上　10°c　用　10°c　表示，　零下5°c　用－　5°c　表示；把例3中收入500元記為500元，支出237元記為－237元。在具體演示的基礎上，課文進一步說明：　　

     為了表示具有相反意義的量，上面我們引進了―5、―2、―237等數(shù)，像這樣的數(shù)是一種新數(shù)，叫做負數(shù)。過去學過的那些數(shù)（零除外），如10、3、500、1.2等，叫做正數(shù)。正數(shù)前面有時也可以放上一個“＋”號，如5可以寫成＋5。　　

在這一段總結(jié)性說明的旁邊有一句旁白告訴我們：“＋5和5是一樣的。”在這一段說明的后邊有一句加有“注意”的重要提示：“零既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。”　　

     這就是第一節(jié)課文所講授的正數(shù)和負數(shù)！筆者為了讓讀者詳細了解新課本是如何講解正數(shù)和負數(shù)概念的，幾乎是把第一節(jié)課文全部搬上了“公案”。也許會有讀者發(fā)議論：“什么‘含糊’‘扭曲’！我們認為第一節(jié)課文已經(jīng)把正數(shù)和負數(shù)的概念講得清清楚楚了，根本不存在什么問題。”筆者要說：你們認為不存在什么問題，那是因為你們考察時習慣于走熟路。如果你稍微仔細一點，就會吃驚地發(fā)現(xiàn)在第一節(jié)課文中存在兩個原則性失誤：其一是，把完全不同的兩類“具有相反意義的量”混為一談，其二是，毫無根據(jù)地宣稱“過去學過的那些數(shù)（零除外）”“叫做正數(shù)”；正是這兩個原則性失誤最終導致假正數(shù)和假負數(shù)概念久占數(shù)學“庭堂”！　　

     下面讓我們進行一些具體分析。首先，讓我們來關注“具有相反意義的量”。可以毫不夸張地說，“具有相反意義的量”在第一節(jié)課文中是一個關鍵性的概念，如果沒有這個概念，就不會有“正數(shù)”“負數(shù)”概念出現(xiàn)。這是因為，第一節(jié)課文把所有成對的具有相反意義的量視作正數(shù)和負數(shù)在現(xiàn)實中的原型，視作正數(shù)和負數(shù)代表的對象。必須肯定，這是一個十分正確的觀念和思路。可惜的是，課文對“具有相反意義的量”未加甄別，竟然含含糊糊把所列舉的五個例子當成一個類型，把每一對具有相反意義的量都用正數(shù)和負數(shù)進行了表示，不知不覺地在數(shù)學大廈的基礎部位埋下了禍根。事實上，第一節(jié)課文所列舉的五對具有相反意義的量屬于兩大類型：例1、例3、例4、例5屬于一類，依據(jù)其特征可稱其為性質(zhì)相反的量，簡稱甲類；例2屬于另一類，依據(jù)其特征可稱其為界位相反的量，簡稱乙類。甲類同乙類相比較，具有以下幾點本質(zhì)差別：　　

     差別之一是，甲類具有相反意義的量的雙方都以提示變化的短語為標志，雙方都是表示變化的量；乙類具有相反意義的量的雙方都不以提示變化的短語為標志，而以表示當時“位置”和狀態(tài)的短語為標志，雙方都是靜態(tài)量，都是不變量。由于標志不同，我們可以毫不費力地分辨出甲類和乙類。例如，當我們遇上“氣溫由零下　10℃　上升到零上　10℃　”和“氣溫由零上　10℃　下降到零下　10℃　”這樣的陳述時，馬上就可以判斷出這種數(shù)量關系屬于甲類，兩個陳述都表示氣溫變化20度，只是變化的方向相反；當我們遇上“氣溫是零下　10℃　和零上　10℃　”這樣的陳述時，馬上就可以看出這種數(shù)量關系屬于乙類，它所表示的是兩個不同地方的氣溫或者是兩個不同時間的氣溫，這兩個數(shù)量都表示既成的事實，都不表示相互間會產(chǎn)生什么影響。　　

差別之二是，甲類雙方都是既有大小規(guī)定又有“趨向”規(guī)定的數(shù)量（權(quán)且稱為“有性量”），乙類雙方都是只有大小規(guī)定而無“趨向”規(guī)定的數(shù)量（權(quán)且稱為“無性量”）。也許讀者會對乙類雙方都是無性量這一說法心存疑慮。為了釋疑，讓我們設想把零上　10℃　和　零下　5℃　　分別換算成開氏溫度計上的溫標。這個換算并不改變這兩個數(shù)量的本質(zhì)，但是，當我們把攝氏溫標變成開氏溫標時，立刻就可以看出，原來的零下溫度并不是所謂的負溫度，原來的零上溫度并不是所謂的正溫度，二者之間并不存在正熱與負熱的不同，只存在熱的程度的不同。　　

差別之三是，甲類雙方相互作用，相互影響，互為逆過程，是相互抵消關系；乙類雙方之間互不干擾，既不是相互抵消關系，也不是相加關系。我們來舉例說明。眾所周知，如果倉庫搬進10筐梨，倉庫必然要增加10筐梨，如果再搬進10筐梨，倉庫就要再增加10筐梨，變成總共增加20筐梨；如果搬出10筐梨，倉庫必然就要減少10筐梨，如果再搬出10筐梨，倉庫內(nèi)就要再減少10筐梨，變成共減少20筐梨，倉庫內(nèi)所增加的20筐梨就一筐也不剩了。這一具體例子告訴人們：正數(shù)和負數(shù)是由搬進和搬出之類的變化過程規(guī)定的，正數(shù)和負數(shù)是以相反的變化關系為存在條件的。這一具體例子還告訴人們：這里的運算法則——變化“方向”相同的數(shù)量相加，變化“方向”相反的數(shù)量相減——不是通過什么理論推導出來的，而是從客觀實際中悟出來的。這也就是說，此處所用的運算法則的根是扎在搬進和搬出的運動過程之中，是由客觀規(guī)律決定的。明白了這個道理，我們就會對那種把零上　10℃　和　零下5℃　分別當成正數(shù)和負數(shù)從而使其能夠相互抵消的主張感到可笑。因為，在“溫度是零上　10℃　和　零下　5℃　　”這一陳述中沒有任何關于變化的提示，我們除了知道這兩個溫度標數(shù)相差15個溫度單位（注意：是15個溫度單位，不是　10℃　減　5℃　所得的溫度；這15個溫度單位不是表示兩個溫度的合并，而是表示兩個熱的程度的“區(qū)間”，既不能冠以“零上”，也不能冠以“零下”）之外，不知道它們將會發(fā)生什么關聯(lián)，因此我們也就沒有把他們放在同一個統(tǒng)計系統(tǒng)中作消漲處理的理由。　　

差別之四是，有理數(shù)的加法法則——①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；②絕對值不同的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；③互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得零；④一個數(shù)和零相加，仍得這個數(shù)——對甲類具有相反意義的量是有效的，對乙類具有相反意義的量是無效的。　　

了解了兩類具有相反意義的量之間的本質(zhì)差別，我們就可以清楚的看到，新課本第二章第一節(jié)課文實際上是通過兩類“具有相反意義的量”暗暗傳授我們兩種“正數(shù)”和“負數(shù)”——其中一種是相互之間等量抵消的正數(shù)和負數(shù)，其中另一種是不能抵消的根本不分正負的“正數(shù)”和“負數(shù)”。同時，我們也可以清楚地看到，只有代表甲類雙方的正數(shù)和負數(shù)才有資格被稱為正數(shù)和負數(shù)，才是真正的正數(shù)和負數(shù)；而用來代表乙類雙方的“正數(shù)”和“負數(shù)”，不過是第一節(jié)課文在眾人不知曉的情況下塞給大家的冒牌貨！講到此處，必須進一步作一些說明：冒牌的“正數(shù)”和“負數(shù)”在第一節(jié)課文中既沒有公開“身份”，也沒有公開“作禍”，一直與真正的正數(shù)和負數(shù)“和睦”并存；但是，在第二節(jié)課文中就不安分了，竟然在“數(shù)軸”的名義下把真正的正數(shù)和負數(shù)擠出了正數(shù)和負數(shù)的“領地”，從而使數(shù)學領域也發(fā)生了鵲巢鳩占的怪事！　　

其次，讓我們來關注“過去學過的數(shù)”。在第一節(jié)課文中，這一概念被反復提到三次：一次是說“只用原來學過的數(shù)很難區(qū)分“具有相反意義的量”；第二次是說把具有相反意義的量中一種意義的量規(guī)定為“正的”，“用過去學過的數(shù)”表示；第三次是說“為了表示具有相反意義的量，上面我們引進了―5、―2、―237等數(shù)，像這樣的數(shù)是一種新數(shù)，叫做負數(shù)，過去學過的那些數(shù)（零除外），如10、3、500、1.2等，叫做正數(shù)”。這三處提法表達的總體意思就是：小學學生所學的數(shù)（零除外）都是正數(shù)；單用小學學過的數(shù)很難區(qū)分具有相反意義的量；要區(qū)分具有相反意義的量，必須再引進一種叫做“負數(shù)”的“新數(shù)”。可以毫不含糊地說，第一節(jié)課文中這種起主導作用的思想已經(jīng)成了當今數(shù)學界的共識。很可惜，這種共識并不是人們自己考察的結(jié)果。當人們用自己的眼睛觀察并且用自己的頭腦思考時，就會發(fā)現(xiàn)，具有相反意義的量早就出現(xiàn)在小學算術中，小學學生學過的數(shù)，把零除外，并不全都是正數(shù)！　　

也許，會有人不相信這一否定數(shù)學界共識的結(jié)論。為了釋疑，請大家回過頭來，再看一看第一節(jié)課文為引進正數(shù)和負數(shù)概念所列舉的例子。就拿例1來說，第一節(jié)課文已經(jīng)毫不含糊地把汽車向東行駛　3千米　和向西行駛　2千米　分別表示為＋　3千米　和－　2千米　。現(xiàn)在，我們把例1稍加變化，寫成應用題的形式：　　

 一輛汽車從A地出發(fā)，向東行駛　3千米　，又回頭向西行駛　2千米　，問汽車停駛后處于什么位置？　　

這樣，我們就使例1所講的兩個量成了相關量，具備了嚴格意義上的正、負關系。要解這道題，關鍵是要弄清汽車向東行駛和向西行駛對汽車的位置所產(chǎn)生的影響是相反的。根據(jù)這一理解，我們的正確處理辦法是像課文中演示的，把汽車向東行駛　3千米　和向西行駛　2千米　分別表示為＋　3千米　和－　2千米　，并且在此基礎上列出下面的算式：　　

  　3千米　＋（－　2千米　）＝　3千米　－　2千米　＝　1千米　　　

于是，我們知道汽車停在A地東方　1千米　的地方。這里，要提請讀者特別注意，這道涉及正數(shù)和負數(shù)的應用題同時也是一道小學數(shù)學應用題。按照小學應用題來解，解題的關鍵也是要弄清汽車向東行駛和向西行駛對汽車位置的影響是相反的，但是，汽車向東行駛的路程不再叫做正數(shù)，而是叫做被減數(shù)，汽車向西行駛的路程不再叫做負數(shù)，而是叫做減數(shù)，運算式中不再有　　

      　3千米　＋（－2）千米，　　

而是要直接寫成　　

      　3千米　－　2千米　＝　1千米　。　　

現(xiàn)在，如果把這道應用題的問話改為“問汽車一共行駛多少路程”，那么這道應用題就不再是涉及正數(shù)和負數(shù)的應用題了，也不再是小學的減法應用題了，而是成了小學的加法應用題。這是因為，在應用題的問話改變以后，應用題已經(jīng)不再涉及性質(zhì)相反的量了。從這里我們可以清楚地看到，正數(shù)和負數(shù)概念同被減數(shù)和減數(shù)概念具有共同的淵源，那就是性質(zhì)相反的量。一般地講：小學學生只要遇到用減法處理性質(zhì)相反的量這類問題，就注定要接觸到與正數(shù)和負數(shù)有關的問題。事實上，“具有相反意義的量”（更準確的說，應該是“性質(zhì)相反的量”）既可用正數(shù)和負數(shù)來表示并區(qū)分，也可用被減數(shù)和減數(shù)來表示并區(qū)分，被減數(shù)和減數(shù)在這里就是以另一種面目出現(xiàn)的正數(shù)和負數(shù)，是只有其實而無其名的正數(shù)和負數(shù)。讀者只要進一步深入細致地考察，就會發(fā)現(xiàn)，小學學生解數(shù)學應用題，在思考階段一般有兩個過程：先是根據(jù)題義分析應用題中各個量的性質(zhì)，確定他們之間的相互關系；然后根據(jù)各個量的性質(zhì)及其相互關系，選用適當?shù)倪\算方式。這兩個過程的前一個過程起關鍵作用，如果沒有這個過程，就沒有確定運算方式的根據(jù)，如果這個過程出現(xiàn)差錯，就必然選錯運算方式（有些小學生在解應用題時不知道該用加法還是減法，往往是因為分辨不清應用題中各個量的性質(zhì)及其相互關系）。這前一個過程的實質(zhì)，就是在沒有正數(shù)和負數(shù)的名義的情況下確認應用題中各個量之間的關系，其中包括正負關系。這正負關系就是我國數(shù)學家劉徽強調(diào)“要令正負以名之”的“兩算得失相反”關系。令人遺憾的是，這前一個起關鍵作用的區(qū)分數(shù)量性質(zhì)及其相互關系的隱過程被人們忽視了，“兩算得失相反”這種數(shù)量關系的涵蓋范圍與理論價值也沒有受到應有的考究，以致人們只看到解應用題時所使用的加法和減法、減數(shù)和被減數(shù)，卻看不到選用加法或減法是以區(qū)分數(shù)量的性質(zhì)及其相互關系為前提條件的，不知道確定加法或減法與確定數(shù)量的性質(zhì)及其相互關系在本質(zhì)上是一回事，也不知道小學學生在解應用題時常用的加法運算式大多是性質(zhì)相同的數(shù)量的合并表達式，減法運算式大多是性質(zhì)相反的數(shù)量的合并表達式（順便說明：加法和減法不是僅僅處理有性數(shù)合并問題，而是也處理無性數(shù)合并問題，例如在處理整體與局部的關系時，也用加法或減法）。　　

   講到此處，也許會有人說：“應用題涉及的數(shù)量關系與純數(shù)加減關系不同，誰也不能否認，在純數(shù)減法運算式中，減號前后的數(shù)都是正數(shù)。”要澄清這種說法之錯誤，我們還必須對純數(shù)加法運算式和減法運算式作深入剖析。質(zhì)言之，在純數(shù)加法運算式（如10+10=20）中有一部分是從各種帶單位名稱的性質(zhì)相同的數(shù)量的合并式（如10筐+10筐=20筐）抽象來的，在純數(shù)減法運算式（如20－20=0）中有一部分是從各種帶單位名稱的性質(zhì)相反的數(shù)量的合并式（如前文涉及的20筐－20筐=0筐）抽象來的，抽象式舍棄了單位名稱，以相加的形式體現(xiàn)和保留了相同的數(shù)量關系，以相減的形式體現(xiàn)和保留了相反的數(shù)量關系；盡管這種抽象具有掩蓋數(shù)量性質(zhì)的弊端，但我們還是能夠看到，在純數(shù)加法運算式和減法運算式中如果沒有加號和減號，那么式子中就沒有加數(shù)和被加數(shù)，就沒有減數(shù)和被減數(shù)，式子中的數(shù)就成了相互之間沒有關系的數(shù)，既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。倒回來說，當一個數(shù)只有與減號合在一起才能被稱為減數(shù)時，它就成了形式和內(nèi)容相統(tǒng)一的標準的負數(shù)了！這樣一來，我們不能不說，第一節(jié)課文宣稱“過去學過的那些數(shù)（零除外）”“叫做正數(shù)”，只不過是傳了一條假經(jīng)，假經(jīng)中的所謂“正數(shù)” 事實上已經(jīng)把正數(shù)和負數(shù)都包括在內(nèi)了；新課本在這種觀念支配下，要繼續(xù)講“正數(shù)”和“負數(shù)”，那就只能是進一步走邪道，傳假經(jīng)。　　

     〈二〉數(shù)軸表示的對象含糊、扭曲　　

    為了幫助人們進一步理解并且接受正數(shù)和負數(shù)概念，第二節(jié)課文引進了規(guī)定有原點、正方向和長度單位的數(shù)軸概念。可是，事與愿違，引進數(shù)軸概念不僅沒有起到幫助人們進一步理解正數(shù)和負數(shù)的作用，反而扭轉(zhuǎn)了第一節(jié)課文的基本思路，使正數(shù)和負數(shù)由容易理解變得難以理解了。什么原因呢？原因就是，課文在具體介紹了數(shù)軸的畫法及怎樣用數(shù)軸上的點表示零與正、負數(shù)之后，又概括出一條比較數(shù)的大小的法則：“在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”，“正數(shù)都大于零，負數(shù)都小于零，正數(shù)大于負數(shù)”。有了這個法則，實質(zhì)上意味著正數(shù)和負數(shù)有了與第一節(jié)課文所講定義不同的第二個定義，即：正數(shù)是大于零的數(shù)，負數(shù)是小于零的數(shù)。這樣一來，我們就不僅面臨難以確定數(shù)軸所表示的數(shù)究竟是兩類“具有相反意義的量”中哪一類的問題，而且面臨對正數(shù)和負數(shù)的兩個定義如何評斷和如何取舍的問題。而要評斷正數(shù)和負數(shù)的兩個定義，就要重新面臨16世紀歐洲數(shù)學界先哲們剛剛接觸“比零小的數(shù)”時所表現(xiàn)出來的那種困惑。　　

那么，數(shù)軸所表示的對象究竟是指的什么呢？對“比零小的數(shù)”究竟應該怎樣理解呢？“比零小的數(shù)”到底存在不存在呢？筆者經(jīng)過反復探討和反復考察，確認要解答并說明上述問題，必須回頭重新審視“具有相反意義的量”這個讓人耳朵出繭的概念。　　

前文已經(jīng)明確提到過，具有相反意義的量分兩大類：一類是性質(zhì)相反的量，簡稱甲類，另一類是界位相反的量，簡稱乙類；甲類與乙類之間存在四項本質(zhì)差別。現(xiàn)在，我們接著前面的工作，繼續(xù)對兩類具有相反意義的量進行考察和比較，不難看出，兩者之間除了前述的四項差別之外，還存在以下四項本質(zhì)差別：　　

差別之五是，二者的計量起點不同，產(chǎn)生途徑不同。性質(zhì)相反的量之雙方都是以真零為計量起點，雙方都是由從無到有和從小到大排序這種計量方式產(chǎn)生的，作為計量起點的真零代表什么也沒有，是一個空位，這個空位表示一切計量對象在一點上都不存在，它是一切計量對象由大到小收斂的極限。例如，收入與支出都是按從無到有和從小到大的方式計量，收入為零就是沒有收入，支出為零就是沒有支出。而界位相反的量之雙方都不是以真零為計量起點，而是以假零為計量起點。從表面上看，界位相反的量的雙方也是由從無到有和從小到大的計量方式產(chǎn)生的，事實上是由從有到有和從中間到兩極的計量方式產(chǎn)生的。具體說，這種計量方式的順序是：先在計量對象的模型的“中間部位”選取一“點”，然后假定這一“點”為零，隨后從這個假定的零點開始向相反的兩個“方向”計量，有窮則止，無窮不止。在這里出現(xiàn)的零不表示什么也沒有，不是空位，而是代表界位相反的量的那個模型的一個實實在在的“環(huán)節(jié)”。這個“環(huán)節(jié)”以其在模型中的特殊“位置”成為特殊的數(shù)量標記，而處于這個“環(huán)節(jié)”兩“側(cè)”的不同的“點”也因其“位置”不同而成為所謂的“相反”的數(shù)量——筆者正是在這個意義上稱其為“界位相反的量”，并且把人們習慣上認定的比假零小的數(shù)量稱為界前量，把人們在習慣上認定的比假零大的數(shù)量稱為界后量。這里請讀者仔細看一看攝氏溫度計。不難理解，攝氏溫度計上的零度就是假零度，這個零度不表示沒有溫度，這個零度以上和以下的溫度只有高低的差別，沒有正性和負性的差別。與攝氏溫度類似的界位相反的量還有很多，例如海平面以下高度和海平面以上高度，某時間以前和某時間以后，等等。就拿時間來說，作為公元紀年起點的耶酥降生時間就是一個具體的實在的時間，人們之所以選定這個時間作為公元計時起點，不是因為這個時間及其以前沒有時間，也不是因為這個時間以前的時間是負時間，而是因為這個時間比較有紀念意義，還因為人們確實找不到最終的時間起點。　　

差別之六是，性質(zhì)相反的量之雙方不是同屬于一種計量對象（更準確一些說，應該把這里的“計量對象”換成“計量模型”），而是屬于兩種計量對象。例如，對收入量和支出量，在統(tǒng)計時要分設“收入”和“支出”兩個欄目，不能把收入量和支出量放在同一個欄目中；在用直線模型表示時，要把收入量和支出量分別用方向相反的兩條直線表示，不能只用一條直線表示。而界位相反的量之雙方同屬于一種計量對象，不是屬于兩種計量對象。例如，對零上溫度和零下溫度，在統(tǒng)計時只須設一個“溫度”欄目，不須設“零上溫度”和“零下溫度”兩個欄目；在用直線模型表示時，只能用一條直線表示，不能用兩條直線表示。　　

差別之七是，性質(zhì)相反的量之雙方的界點是一個斷點，這個界點不能移動，如果移動，就會把兩種計量對象混雜在一起；而界位相反的量之雙方的界點不是斷點，這個界點可以移動，如果移動，不會出現(xiàn)不同計量對象的混雜，不會混淆數(shù)量性質(zhì)。例如，測量溫度可以根據(jù)需要選用不同的溫度計，而改換溫度計實際上就起到了移動溫度界點的作用。當我們選用攝氏溫度計時，標準大氣壓條件下水的凝固溫度就成了我們選定的測量溫度的計量起點。當我們選用開氏溫度計時，絕對零度就成了我們選定的測量溫度的計量起點，在這種情況下，雖然測量的對象沒有變化，但是溫度的標數(shù)卻發(fā)生了重大變化：同是標準大氣壓下水的凝固點，卻由零度變成273.15度；原來所謂的負溫度沒有立腳之地了，原來所謂的正溫度也不存在了。　　

差別之八是，性質(zhì)相反的量中雙方都以純數(shù)——絕對值——代表自身的大小，并且用比較絕對值大小的方式比較雙方的大小；界位相反的量中雙方比較大小不以絕對值大小為判據(jù)，而以比較代表數(shù)量的“位點”處于假零那一“側(cè)”為判據(jù)；界前量都小于零，界后量都大于零，界前量總是小于界后量，界前量中絕對值大的量反而更小。　　

通過對具有相反意義的量進行分析，再把兩類具有相反意義的量各自具有的八個特征同數(shù)軸的特征進行對照，我們就可以清楚地看到：①在這里，“比零小的數(shù)”就是界位相反的量中比假零小的數(shù)（請讀者注意，所謂“比零小的數(shù)”其實有兩種，后文還要剖析另一種，此處不詳述），這種比假零小的數(shù)同比假零大的數(shù)合起來構(gòu)成同一個計量模型除假零以外的兩部分，但是構(gòu)不成正數(shù)和負數(shù)必須具備的的相互抵消關系，所以“比零小的數(shù)”根本就不是負數(shù)，而處于這種計量模型中的比零大的數(shù)也根本就不是正數(shù)。②數(shù)軸實際上是界位相反的量的圖象，不是性質(zhì)相反的量的圖象。③數(shù)軸上的零不是真零，數(shù)軸上的“正數(shù)”和“負數(shù)”不是真正的正數(shù)和負數(shù)，數(shù)學教材引進數(shù)軸的客觀效果是偷換了正數(shù)和負數(shù)概念的實質(zhì)性內(nèi)容，讓假零頂替了真零，讓假正數(shù)頂替了真正數(shù)，讓假負數(shù)頂替了真負數(shù)。④有理數(shù)加法法則不適用數(shù)軸上的數(shù)。⑤在數(shù)軸上比較數(shù)量大小的法則只宜在界位相反的量中使用，不宜在性質(zhì)相反的量中使用，如果在性質(zhì)相反的量中使用，就勢必否定行之有效的以比較絕對值大小判定數(shù)量大小的法則，導致大小觀念的扭曲，認大為小，讓小為大，歪曲事理。⑥數(shù)軸上的箭頭只能表示右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)，不能表示數(shù)量的性質(zhì)（盡管教科書是讓它表示數(shù)量的性質(zhì)，但終究不行）。⑦如果硬要讓數(shù)軸能夠表示真正的正數(shù)和負數(shù)，那就必須給數(shù)軸的左端再加上一個與數(shù)軸右端的箭頭指向相反的箭頭，并且作出四點聲明：第一.廢除原來那個只適用于界位相反量的在數(shù)軸上比較大小的法則；第二.指明原點是一個斷點，斷點兩邊的軸不屬于一“體”；第三.原點代表的零是最小的數(shù)，正數(shù)比它大，負數(shù)也比它大；第四.在這個圖象中代表正數(shù)和負數(shù)的是線段（因為，不是線段不可能有方向），只有零才用點表示。　　

〈三〉絕對值概念含糊、扭曲　　

 當我們讀到新課本中專講絕對值概念的第四節(jié)課文時，立刻會被其中幾句特別醒目的話吸引：　　

      由絕對值的意義，我們可以知道：　　

1、一個正數(shù)的絕對值是它本身;　　

2、零的絕對值是零;　　

3、一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。　　

     可以毫不夸張地說，這幾句話不僅扭曲了絕對值概念，而且扭曲了正數(shù)概念，扭曲了正數(shù)和負數(shù)的關系，是教材中最為明顯的錯亂表述。什么是絕對值的意義呢？在新課本中，絕對值是相對于標著性質(zhì)符號的數(shù)（如+3、―2、+500、―237這種由性質(zhì)符號和純數(shù)兩部分組成的數(shù)）而言的，指的是標著性質(zhì)符號的數(shù)中的純數(shù)部分，是只有大小規(guī)定而無性質(zhì)規(guī)定的數(shù)。第四節(jié)課文開頭部分曾對絕對值概念作了具體介紹：“在一些量的計算中，有時并不注意其方向。例如，為了計算汽車行駛中所耗的汽油，起主導作用的是汽車行駛的路程而不是行駛的方向。在討論數(shù)軸上的點與原點的距離時，只需要觀察它與原點之間相隔多少個單位長度，與位于原點何方無關。我們把在數(shù)軸上表示a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作︱a︱。”為了更直觀一些，請讀者來看－6這個具體的負數(shù)：它的絕對值是指不帶“－”號的純數(shù)“　6”　，這個“　6”　只有大小規(guī)定，沒有性質(zhì)規(guī)定；而－6的相反數(shù)卻是指既有大小規(guī)定又有性質(zhì)規(guī)定的帶有“+”號的“　6”　，即+6。如果把－6放到數(shù)軸（注意：這個數(shù)軸已經(jīng)不再是表示界位相反的量的圖象了，而是左端標有反向箭頭的表示性質(zhì)相反的量的圖象了）上來說，它的相反數(shù)是指原點右側(cè)的與它對稱的+6，這個+6是既有大小規(guī)定又有方向規(guī)定的數(shù)；而－6的絕對值卻是指只有大小規(guī)定而無方向規(guī)定的純數(shù)6，這個純數(shù)6表示－6的終點與原點之間相隔6個單位長度——這6個單位長度在原點左側(cè)存在一個，在原點右側(cè)也存在一個，是數(shù)軸上的－6和+6共有的絕對值。所以我們可以肯定地說，第四節(jié)課文宣稱“一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)”這一句話是一句自我否定的陳述，這一句話的語義效果就和一個幽默大師宣稱他會畫“正方形的圓”一句俏語所產(chǎn)生的效果一樣。　　

讓我們再來看“一個正數(shù)的絕對值是它本身”這句斷語。前文已經(jīng)說明，正數(shù)和負數(shù)是指用來區(qū)分和表示性質(zhì)相反的量的數(shù)，正數(shù)和負數(shù)之間是相互抵消關系。換句話說，正數(shù)和負數(shù)都是有性數(shù)，不是無性數(shù)。而“一個正數(shù)的絕對值是它本身”這句話卻再清楚不過地告訴我們：正數(shù)本身就是絕對值，是無性數(shù)。這就等于公然對正數(shù)實施語言“閹割”！這實際上是在指馬為騾！　　

請注意，正數(shù)概念被暗暗換成無性數(shù)概念，并不是從第四節(jié)課文開始并且在第四節(jié)課文中完成的，而是從第一節(jié)課文開始，到第四節(jié)課文才完成的；不是一步到位，而是分三步才到位。縱觀整個偷換概念過程，第一步是提出用“過去學過的數(shù)”表示具有相反意義的量中“正的”一方。直白地說，就是用“過去學過的數(shù)”表示正數(shù)，給正數(shù)規(guī)定一個代表，即書寫形式。這本無可非議，但是由于“過去學過的數(shù)”意義含糊，所以從開始讓它當正數(shù)的代表，就種下了禍根。第二步是在舉例表示具有相反意義的量之后，宣布“過去學過的那些數(shù)（零除外），如10、3、500、1.2等，叫做正數(shù)”，“+5和5是一樣的”，使代表和被代表成為同一體，使正數(shù)的那個正號成為可有可無的多余的東西。不過，在這一步，如果我們不對“過去學過的那些數(shù)（零除外）”“叫做正數(shù)”這種說法進行深入考察，仍然不能斷言正數(shù)已經(jīng)被“閹割”了。第三步就是在第四節(jié)課文中直接宣布“一個正數(shù)的絕對值是它本身”，明白無誤地告訴大家：正數(shù)本身就是絕對值。這三步合起來恰恰構(gòu)成一出“代表篡位”的鬧劇。“代表篡位”的結(jié)果是把正數(shù)的“正的”性質(zhì)給代表丟了，也把正數(shù)和負數(shù)之間相互抵消的關系給代表丟了。　　

新課文通過上述三個“含糊、扭曲”，完成了兩次偷換概念（一次是“數(shù)軸作亂”，另一次是“代表篡位”），實際上給讀者展示了三種正數(shù)和負數(shù)：第一種是與性質(zhì)相反的量對應的正數(shù)和負數(shù)，第二種是與界位相反的量對應的所謂“正數(shù)”和“負數(shù)”，第三種是存在于“一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)”這種自我矛盾觀念中的所謂“正數(shù)”和“負數(shù)”。事實上，這第三種“正數(shù)”和“負數(shù)”根本沒有對應的對象，因為，如果絕對值有相反數(shù)，那么它就不是絕對值了。但是這第三種“正數(shù)”和“負數(shù)”也不是毫無來由。說穿了，這第三種“正數(shù)”和“負數(shù)”就潛藏于3－5=－2之類的被減數(shù)小于減數(shù)的減法運算式中——等號前的被減數(shù)和減數(shù)就是第三種“正數(shù)”，等號后的差就是第三種“負數(shù)”。公道地說，對于3－5=－2這類運算式本身，我們不僅不能指責，相反地還必須承認能夠?qū)懗鲞@類運算式是一種歷史性進步。但是，我們必須說，到目前為止，寫出這類運算式的指導思想是極其錯誤的：錯就錯在寫出這類運算式時不是把被減數(shù)和減數(shù)當性質(zhì)相反的量對待，而是把它們都當成正數(shù)看待；錯就錯在寫出這類運算式時沒有把等號后的數(shù)當成性質(zhì)相反的數(shù)相互抵消的結(jié)果，而是把它當成了一個正數(shù)不夠另一個正數(shù)減時出現(xiàn)的“比零小的數(shù)”。讀者肯定已經(jīng)看出，這里出現(xiàn)的“比零小的數(shù)”不是界位相反的量中的“比零小的數(shù)”，而是減數(shù)被被減數(shù)抵消后剩下的一部分，也就是運算式中減數(shù)——事實上的負數(shù)——的一部分；當人們僅僅把這一部分當負數(shù)時，不僅負數(shù)的概念的范圍縮小了，更重要的是，負數(shù)成了難以理解的數(shù)了。在這里，我們可以毫不含糊的說：“比零小的數(shù)”是抽象的減法掩蓋數(shù)量性質(zhì)所產(chǎn)生的惡果，這惡果又以其非直觀的反常理的面目給抽象者出了個難題。　　

以上三個“含糊、扭曲”各有各的作用，卻又是緊密相關的，其中貫穿一條主線，那就是由淡化正數(shù)和負數(shù)的性質(zhì)到徹底抹殺正數(shù)和負數(shù)的性質(zhì)，使正數(shù)和負數(shù)只有抽象的“正”“負”之分，而無正數(shù)和負數(shù)的本質(zhì)特征，最終導致假正數(shù)和假負數(shù)取代真正數(shù)和真負數(shù)。當我們看到正數(shù)和負數(shù)所處的尷尬境遇時，不能不為劉徽對正數(shù)和負數(shù)所下定義被淡化而感到痛惜。　　

然而，上述問題還不是正數(shù)和負數(shù)概念所存在問題的全部，而是一部分。如果說已經(jīng)揭示出來的問題可以概括為正數(shù)和負數(shù)被假冒的問題，那么還未揭示出來的問題就可以概括為正數(shù)和負數(shù)概念排斥同類數(shù)的問題；如果說已經(jīng)揭示出來的問題不是邏輯的必然，那么還未揭示出來的問題就是正數(shù)和負數(shù)概念本身帶來的問題，是“先天性”問題，是必然要發(fā)生的問題。下面，我們就來關注這個不是存在于新課本中的“先天性”問題。　　

注釋　　

①   本文關于印度數(shù)學家很早就深入研究正數(shù)和負數(shù)的史料來自新華書店上海發(fā)行所1984年1月出版前蘇聯(lián)G.B.鮑爾加爾斯基所著《數(shù)學簡史》第87頁，還來自M.克萊因所著《數(shù)學：確定性的喪失》第106頁。　　

②   本文關于米哈依爾.史提非把負數(shù)定義為“比零小的數(shù)”的史料來自《數(shù)學簡史》第115頁。　　

③   此引文見《數(shù)學：確定性的喪失》第112頁。　　

④ 參閱《數(shù)學：確定性的喪失》第111頁。