數學作為基礎學科，是每一個受教育者必須接受的文化教育。數學對諸多其它學科如物理學、生物學、化學、經濟學、地理起到直接利用的工具作用，對所有學科起到間接使用的啟迪作用，還是對人的智慧發展、品質培養以及情感、世界觀的形成起到導引作用。這是由于數學是從量的側面認知事物，而量又是具有普遍存在性的，所以數學是貫穿于人類知識體系與人類社會發展的歷史地、辯證的、廣泛的、與時俱進的學科。它的教學價值與教育的重要性不言而喻?！ ?/FONT>
學前教育中的數學，是對量的感知。學習阿拉伯數字，對0、1、2、……8、9的個體認識記憶，就像記住歐氏幾何二十三個定義、五大公設與五大公理一樣，是基礎之基礎。生活中物體個數的數字認知就是從量（即個數）的側面認知事物。而數數，則或多或少地是發現規律及依次增大，例如數蘋果，一個、兩個、三個……從表示蘋果多少的量，抽象出數的增大這一數列（或函數）單調增加，便是數學學習的一大進步。運算，則是更高能力層次的要求。當然了，對球、三角形、四邊形及組合圖形等的認知，如玩積木，又是幾何圖形的認知?！ ?/FONT>
小學數學在學前數學教學基礎上，擴充了自然數的掌握個數，由帶余除法到小數則更是數系的擴張。小學生對時間、長度、面積、體積、質量、貨幣等也更為量化。而對三角形、平行四邊形、圓形以及圓柱、圓錐的認識，基本性質、面積、體積公式的學習和對這些公式的驗證或證明，是幾何上的突破。再像找規律，無疑是數列、函數問題的雛形（小學對正比、反比教學也滲透了函數，甚至還出現了圖象）。而小學數學尤其是奧數中，數論、概率論與數理統計的初步研究也對學生數學全面發展、啟迪智慧益處很多?！ ?/FONT>
初中數學，在深度、廣度、難度和嚴謹度上要求更高。同樣，從有理數到實數，數系再度擴張。對于百萬、千萬、億及千分之一、萬分之一的認識，又是一個提高。運算方面，乘方、開方、三角式也已引入。代數的教授也使數學抽象色彩更為濃厚、普適特點和嚴密性更為突出。至于幾何，我認為它在初中數學中比代數等更為深入，難度更大，因其要求更高，發揮的余地很大。初中幾何之中心，是歐幾里得幾何。例如相似與全等的對立統一，三角形內角和為180度等，都是依賴于以歐幾里得幾何為出發點。在圖形物理量的計算上，幾乎沒有上升到新的層次。在概率、統計上，學生的理論與實踐能力得到可觀的進展。其中，加權平均數就是數學期望的簡體，方差又與最小二乘法密切關聯。要說初中數學最大的提升點，非函數莫屬。一次函數、反比例函數、二次函數的性質、應用的學習，從中學教學結構講，對高中更復雜的函數與更多問題起鋪墊作用。而更客觀的說，這是對“從量的側面認知事物”更好的詮釋。聯系、變化、發展、預測的思想內涵以此傳授給學生。但三角函數，在初中范圍只能用于數形結合解（直角）三角形。而近年來，函數教學越來越重視函數思想的培養。初、高中都有函數新定義或新函數的探究式考查。
從初中到高中，數學的梯度大幅提升。學生不難發現，所謂一次函數、反比例函數、二次函數都是冪函數或幾個冪函數與常值函數的復合。甚至只是限于負一次、一次、二次這一最簡范圍，尤其是從微積分角度講，更是簡單。而對數運算與對數函數、指數函數、冪函數、常值函數、三角函數、反三角函數（可能還會有雙曲函數）蜂擁而至，尤其是三角函數的大容量講學，使學生在存在困難的接受的同時，也深切感受到數學尤其是函數的豐富性、多樣性與普適、實用性。而幾何方面從平面幾何拓展定理，并發展成為平面解析幾何、立體幾何。數形結合思想大有用武之地。代數方面，復雜運算與公式迭增，如牛頓二項式定理。數列知識也有較高的要求，與級數可以銜接。概率統計上，排列組合、幾種概型、數據分析知識點也非常多。在高中數學的一些課本中，矩陣、算法、復數和微積分也有所講解。但從課改前的要求來看，基本不考查矩陣、算法及微積分中除導數以外的部分等?！ ?/FONT>
到了大學，高等數學（通?？梢元M義地理解為積分）、概率論、數理統計學、數學邏輯、分析數學、微分方程、計算數學、線性代數、運籌學、控制論、信息論等諸多數學學科與數理經濟學、生物數學、數學物理等復合學科，以及更加細微分化的數學應用學科，如非線性光學，分析力學，計算機科學等等，都與數學不可分割。對于大多數學生講，高數是最基礎的公共課程。從函數、極限、導數、微分、定積分、不定積分、微分方程到多元函數的導數、全微分、偏導數、多重積分，還有矩陣、立體解析幾何、概率論、數理統計學，都是必備的數學知識。數學建模思想凸顯?！ ?/FONT>
審視數學教學歷程，與人類的數學史大致吻合（當然也有一定的區別，如歷史上先有對數后又乘方，而且是以1/e為底的對數）。因而數學教育者，應當秉承發展的觀念，以歷史觀為基礎，注重學用結合，融會貫通，用辯證法教導學生。知識不是獨立的點，而是連成一片的網，是推理演繹著的流水，流向更深邃的遠方。
但是，當今教學者雖大都可以完整、嚴謹、關聯地傳授數學，但數學式的滲透并不容樂觀。而數學文化品格的教育更是匱乏。曾在教學研討文章上看到，一位高三教師對于一道解三角形的題目，縝密地運用多種方法解題，快速而不慌亂，接著便將下一道題。這種場景在高三很常見，因為要趕時間復習。問他數學的文化價值是什么，他說，是學生的思維能力，應用價值也是一個方面；高三復習只要會做題就行，不要搞花架子。
另一位教師，講“二項式系數的性質及應用”時，將楊輝三角形寫在黑板上后，說：“這就是著名的楊輝三角形，它比西方的帕斯卡三角形早了300多年。”接著便讓學生探究其規律。同樣問他怎樣在數學課堂中滲透數學的文化價值，他說他就是在滲透數學的文化價值?！ ?/FONT>
數學有兩種品格，一個是工具品格，另一個是文化品格。當今數學教育，多能體現出工具品格，學生也總愛問，學數學有什么用。但這正是急功近利與物質化的弊病。孰不知數學史上有作為的數學家，是用靈魂去發現真理。數學是用以陶冶情操、鍛煉思維、提升一個人的綜合素質。數學更是精神層次的學問。這也正是為什么西點軍校的學員除了學習運籌學、優化技術、可靠性方法等數學學科，還要學習高深的數學課。而英國律師在大學里也要學習多門高等數學。嚴謹、求真的態度，敏捷的思維，良好積極的心態，穩重的做事風格，和隨機應變的能力，持之以恒與不懈奮斗的精神品質，都是可以由數學提供的。而當今數學教育者，或是根本沒有了解數學文化價值的深層含義，或是迫于緊張的教學時間的壓力與外界的限制，大部分都無法真正的傳承數學在歷史長河中的精神積淀。像上文所舉二例，用簡單的一兩句話介紹某個數學發展階段，或者干脆不講數學發展，不把數學史與教材結合，不挖掘各時期間數學形態的內部聯系，只會讓學生感到形式單一、枯燥無味，而且缺乏系統性、實踐性。
文化滲透除了本身就是數學的靈魂、精髓以外，對數學學習者的數學學習興趣起到重要培育作用，對其學習熱情、主動性起到鼓舞作用。在實例與數學故事的基礎上，通過對數學史、數學方法論、數學思想的學習，可以使學生的數學功底更為深厚，樹立起學數學的自信心。尤其是從淺顯易懂中發現深刻道理的教學過程，完全比做偏、難、怪的題目效能大、效果好、效率高。數學的魅力，不是靠難倒人、應用性強來體現的。除非非要強調其工具品格，非要去用它的肉體解決問題，甚至用它的肉體去謀求物質利益，我們可以適當降低數學題目的難度（并不是降低知識深度），提高其數學內涵。當然，還有許多數學題目具有很高的價值，但難度很大。這便是過少的教學時間與高難度高價值題目的沖突。雖然一般難度的數學題更適合大多數人，且完全能起到很大的數學培養作用，可是高難度高價值題目不少也是數學精神的載體。這便要求客觀上增加教學時間，減少那些如中、高考前的重復復習，這種減少不僅可以使教師有更多時間仔細講解難題，還提高學習知識的牢固性，在學習中醫代替原先復習的作用。知識都是相連的，任何人都可以、更是有權利學會有價值的、真正的難題，由淺入深是學習的本真過程。實際上，為學習數學、研究數學奮斗的人，都是數學的強者。他們以具有高超的數學技藝與美好的品德。其實任何事都是這樣，做事時，失敗的積分遠大于成功與輝煌！
說到難題，我們又來到下一話題——補充講學。曾經在學概率時，講到“投針試驗”。教科書上只是強調概率操作時的試驗方法，將統計與概率相關聯。而老師在給我們講課時，還給我們講到了這一概率公式的證明。老師確實抽出一整節課，對該公式進行論證，并且不厭其煩地多次換角度講解，給出了足夠的學生消化時間，盡可能地讓同學明白。對于其中的一個定理，由于其深度，直接引用，使學生不被困難嚇倒，很是恰到好處。但是講課時我們已是初三，但老師依然保證補充講學這一重要的聯系拓廣方式的進行。此外，該節內容中，課后題講到“隨便說出三個正數，試驗估計以之圍成鈍角三角形的概率?！崩蠋熡质菑膰乐斍蠼獾慕嵌冉虒W，先對其給予知識補充上的啟示，再將這一問題的求解留成思考作業，并且適當減少其它數學作業，給學生以足夠時間和空間思考。另外，老師將期末平時成績的滿分賦予此題，這又是一種獎勵機制。幾天后上課，又是細致地、深入地講解，并貫穿著學生的發言，使圓的方程、幾何概率甚至解斜三角形的相關知識有選擇的全面融于此題中，江浙到很有難度的題分塊被攻克。對此題有深入研究的同學，也獲得了滿分。
同樣是由法國數學家Buffon最早設計的“投針試驗”，在某校高三一節數學課的“課前3分鐘數學史話”上，一位學生與老師、同學分享了此故事。老師見大家對此興趣盎然，便放下原先準備的復習內容，探討此問題。在師生共同的討論中，又有同學提出相關的問題、猜想?！巴夺樤囼灐笔且环N試驗估計圓周率的方法，同學們有人提出他們測圓周率的預計方法。老師從共同探究與引導的角度對同學的方案進行分析，最終在大家循序漸進的研討中，一個同學提出了正確的方法，老師予以鼓勵，還以該同學的名字命名這一方法和所測圓周率。這位教師引導、啟迪、教學相長的授課方式，和善于發現學生長處并及時鼓勵、抓住學生學習興趣與靈感的教學能力，對于日常課本講學，也是難能可貴的品質?！ ?/FONT>
其實，補充講學知識相對于該學習階段課程要求、標準和教學大綱而言。補充內容對學生能力提高層次檔次超過課標，但實際上對學生解決該階段問題益處非常大。人站得更高，看得更廣遠，看到的困難也更小，更有實力、有信心解決現階段問題。另一方面，對于同日后數學學習的鋪墊、銜接，也是不可或缺的一項，甚至對日后數學的學習降低難度。例如有些高中再將微積分時，對課標以外的微分、定積分、不定積分講解以達到高等數學的水平。像Lagrange中值定理、Cauchy中值定理也講解很多、很細。當這些學校的學生在大學學習非專業高等數學時，會覺得十分輕松，甚至上課時自己把講的內容快速瀏覽一遍，做幾道題，就睡覺，都可以取得不錯的成績?！ ?/FONT>
在補充講學方面與數學價值方面，奧數與數學競賽也應一提。值得肯定，小學奧數和中學數學競賽，對數學知識的擴充、思維的開發益處不小。但是，小學奧數中不乏呆板、生搬硬套的成份。如該用方程的非用處罰逆推，雖然這里有逆向思維的特點，但教師并沒有講解逆向思維原理、方法。而小學奧數更是小升初時“升學中介單位”——奧數班的暴利融資方式，單憑小學奧數書的種類多、銷量大就可以說明。而中學數學競賽及其他各類學科的競賽，與小學奧數類似，都是為了上重點學校而孕育的人為工具?！吧现攸c”“熱潮”使“奧數”、“特長生”、“走后門”、“高額借讀費”、“擇校費”等等已經耳熟能詳。在成年人錢權利益之下的“數學”，本來起促進作用和發掘數學潛能的數學競賽，好比被蹂躪的烏鴉，可憐而惡心。數學的高尚已被人為地、粗魯地誣蔑、踐踏；其對智慧、思維的啟迪作用被誤認為成劃分人智商高低、決定學生數學好壞的標準。這對未成年人數學興趣培養、價值觀、世界觀尤其是對數學的認識的建立，對學習、成長的信心，不僅誤導，更是迫害。就算是高中數學競賽的全國一等獎獲得者，也不得不承認數學競賽是用于被北大、清華自主招生錄取，他們到了大學幾乎沒有人學與數學有關的專業。奧數是一個與股票類似的東西。在高額投資下，可能會猛賺一把，但更有不少人甚至血本無歸。尤其是在“奧數危機”的今天。
總的來說，數學的學習極其需要教育者重視其文化品格，了解數學的真諦，適當有效地補充講學，更重要的是鼓舞受教育者的自信心。也需要教育機構、單位從更深遠的角度看問題，為國家和它的未來著想。我并不指望他們能用心感知數學，哪怕他們能為更大的利益耐住物欲就很好。數學的文化及數學教學，太值得浮躁的當代人思考，從教育者，政府，到每一個愿意認識世界，把握未來的人。
