第1講 速算與巧算（一）
計算是數學的基礎，小學生要學好數學，必須具有過硬的計算本領。準確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能提高計算效率、節省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發展。
我們在三年級已經講過一些四則運算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準數法和乘法的補同與同補速算法。
例1 四年級一班第一小組有10名同學，某次數學測驗的成績（分數）如下：
86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。
求這10名同學的總分。
分析與解：通常的做法是將這10個數直接相加，但這些數雜亂無章，直接相加既繁且易錯。觀察這些數不難發現，這些數雖然大小不等，但相差不大。我們可以選擇一個適當的數作“基準”，比如以“80”作基準，這10個數與80的差如下：
6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”號表示這個數比80小。于是得到
總和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-
?。?00＋9＝809。
實際計算時只需口算，將這些數與80的差逐一累加。為了清楚起見，將這一過程表示如下：
通過口算，得到差數累加為9，再加上80×10，就可口算出結果為809。
例1所用的方法叫做加法的基準數法。這種方法適用于加數較多，而且所有的加數相差不大的情況。作為“基準”的數（如例1的80）叫做基準數，各數與基準數的差的和叫做累計差。由例1得到：
總和數=基準數×加數的個數+累計差，
平均數=基準數+累計差÷加數的個數。
在使用基準數法時，應選取與各數的差較小的數作為基準數，這樣才容易計算累計差。同時考慮到基準數與加數個數的乘法能夠方便地計算出來，所以基準數應盡量選取整十、整百的數。
例2 某農場有10塊麥田，每塊的產量如下（單位：千克）：
462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每塊麥田的產量。
解：選基準數為450，則
累計差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11
＝50，
平均每塊產量=450＋50÷10＝455（千克）。
答：平均每塊麥田的產量為455千克。
求一位數的平方，在乘法口訣的九九表中已經被同學們熟知，如7×7＝49（七七四十九）。對于兩位數的平方，大多數同學只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數的平方呢？這里向同學們介紹一種方法——湊整補零法。所謂湊整補零法，就是用所求數與最接近的整十數的差，通過移多補少，將所求數轉化成一個整十數乘以另一數，再加上零頭的平方數。下面通過例題來說明這一方法。
例3 求292和822的值。
解：292=29×29
?。剑?9＋1）×（29-1）＋12
?。?0×28＋1
＝840+1
?。?41。
822＝82×82
?。剑?2－2）×（82＋2）＋22
?。?0×84＋4
?。?720+4
＝6724。
由上例看出，因為29比30少1，所以給29“補”1，這叫“補少”；因為82比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。因為是兩個相同數相乘，所以對其中一個數“移多補少”后，還需要在另一個數上“找齊”。本例中，給一個29補1，就要給另一個29減1；給一個82減了2，就要給另一個82加上2。最后，還要加上“移多補少”的數的平方。
由湊整補零法計算352，得
35×35＝40×30＋52=1225。這與三年級學的個位數是5的數的平方的速算方法結果相同。
這種方法不僅適用于求兩位數的平方值，也適用于求三位數或更多位數的平方值。
例4 求9932和20042的值。
解：9932=993×993
＝（993＋7）×（993-7）+72
?。?000×986＋49
?。?86000＋49
?。?86049。
20042=2004×2004
＝（2004-4）×（2004+4）＋42
?。?000×2008＋16
?。?016000＋16
?。?016016。
下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。
請看下面的算式：
66×46，73×88，19×44。
這幾道算式具有一個共同特點，兩個因數都是兩位數，一個因數的十位數與個位數相同，另一因數的十位數與個位數之和為10。這類算式有非常簡便的速算方法。
例5 88×64＝？
分析與解：由乘法分配律和結合律，得到
88×64
?。剑?0＋8）×（60＋4）
＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4
＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4
?。?0×60＋80×6＋80×4＋8×4
?。?0×（60＋6＋4）＋8×4
?。?0×（60＋10）＋8×4
?。?×（6＋1）×100+8×4。
于是，我們得到下面的速算式：
由上式看出，積的末兩位數是兩個因數的個位數之積，本例為8×4；積中從百位起前面的數是“個位與十位相同的因數”的十位數與“個位與十位之和為10的因數”的十位數加1的乘積，本例為8×（6＋1）。
例6 77×91＝？
解：由例3的解法得到
由上式看出，當兩個因數的個位數之積是一位數時，應在十位上補一個0，本例為7×1＝07。
用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數的乘法計算。
