函數是數學中最重要的概念之一,函數的應用就是用運動和變化的觀點來研究具體問題中的數量關系,然后通過函數的形式把這種關系表示出來,再運用函數的有關性質和知識及數學方法來加以解決。
【考點考法分析】
1、了解變量、自變量、因變量的概念，能結合變量之間的關系、圖像對簡單的實際問題中的函數關系進行分析。
2、認識并能畫出平面直角坐標系，在直角坐標系中，會根據坐標描出點的位置，由點的位置寫出它的坐標。
3、了解平面直角坐標系中各個位置上點的坐標特點，會求一個點關于坐標軸和原點的對稱點。
4、能夠用極坐標和直角坐標確定物體的位置。
5、理解函數的概念和函數的表示法，能確定簡單的分式、整式、根式及簡單實際問題中函數的自變量的取值范圍，并會求出函數值。
6、熟練掌握一次函數、反比例函數和二次函數的性質，并用其解決簡單的實際問題。
本單元重點考查函數思想和數形結合的思想，學生的閱讀理解能力，收集處理信息的能力以及綜合應用知識解決實際問題的能力。
【復習策略:】
打好“常規(guī)”基礎,抓住“常規(guī)”題型,適當拓寬“新題”；強化在文字語言的描述中尋找數量關系的訓練,注意圖、表信息的提取、數形結合的運用；注重實際檢驗。
【知識歸納梳理】
1、 平面內點的坐標的特點
⑴各象限內的點的特征，如圖：
⑵坐標軸上點的坐標的特征：
點P（x,y）在x軸上 y＝0，x為任意數；
點P（x,y）在y軸上 x＝0，y為任意數；
點P（x,y）既在原點 x、y同時為0、即點P（0,0）。
⑶對稱點的坐標特征：
點P與點P1關于x軸對稱 橫坐標相等，縱坐標相反；
點P與點P1關于y軸對稱 橫坐標相反，縱坐標相等；
點P與點P1關于原點對稱 橫坐標和縱坐標都相反。
⑷點與原點、點與坐標軸的距離
P（a,b）與原點的距離為 ；P（a,b）到x軸的距離為∣b∣，到y(tǒng)軸的距離為∣a∣。
⑸平面直角坐標系內圖形的平移與圖形上的點的坐標的變化的關系：設（a＞0,b＞0）
圖形向上（或向下）平移a個單位長度 圖形上的點的橫坐標不變，縱坐標加（或減）a；
圖形向左（或向右）平移a個單位長度 圖形上的點的縱坐標不變，橫坐標減（或加）a；
2、一次函數y＝kx＋b（k≠0）的圖像和性質
⑴當b＝0，即為正比例函數y＝kx（k≠0）時：
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k的符號 |
k＞0 |
k＜0 |
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圖像的大致位置 |
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經過象限 |
第一、三象限 |
第二、四象限 |
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性質 |
Y隨x的增大而增大 |
Y隨x的增大而減小 |
（2）當b≠0時：
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k、b的符號 |
k＞0
b＞0 |
k＞0
b＜0 |
k＜0
b＞0 |
k＜0
b＜0 |
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圖像的大致位置 |
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經過象限 |
第一、二、三象限 |
第一、三、四象限 |
第一、二、四象限 |
第二、三、四象限 |
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性質 |
Y隨x的增大而增大 |
Y隨x的增大而增大 |
Y隨x的增大而減小 |
Y隨x的增大而減小 |
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5、反比例函數 （k≠0）的圖像和性質
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k的符號 |
k＞0 |
k＜0 |
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圖像的大致位置 |
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經過象限 |
第一、三象限 |
第二、四象限 |
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性質 |
在每一象限內Y隨x的增大而減小 |
在每一象限內Y隨x的增大而增大 |
6、二次函數的定義：如果y=ax +bx+c(a、b、c為常數，a 0),那么y叫做x的二次函數。
7、二次函數的圖像：二次函數y=ax +bx+c ( a 0 ) 的圖像是一條拋物線
8、二次函數的性質：
(1)拋物線y=ax +bx+c的頂點是（- ， ）；對稱軸是x=- .
(2)擋a＞0時，拋物線開口向上，在對稱軸的左側y隨x值的增大而減小，，在對稱軸的右側y隨x值的增大而增大；a＜0時，拋物線開口向下，在對稱軸的左側y隨x值的增大而增大，，在對稱軸的右側y隨x值的增大而減小。
(3)當a＞0，x=- 時，y有最小值 ；當a＜0，x=- 時，y有最大值 。
(4)特殊拋物線的性質
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拋物線 |
開口方向 |
對稱軸 |
頂點坐標 |
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a＞0 |
a＜0 |
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y=ax |
向上 |
向下 |
X=0 |
(0,0) |
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y=ax +c |
向上 |
向下 |
X=0 |
(0,c) |
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y=a(x-h) |
向上 |
向下 |
X=h |
(h,0) |
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y=a(x-h) +k |
向上 |
向下 |
X=h |
(h,k) |
9、拋物線解析式的三種形式：
(1)一般形式：y=ax +bx+c (a、b、c為常數，a 0)
(2)頂點式：y=a(x-h) +k (a 0),其中h、k為拋物線的頂點的橫、縱坐標。
(3)交點式：y=a(x-x )(x-x ) (a 0),其中x 、x 為拋物線與x軸交點的橫坐標。
10、二次函數的圖像的畫法————五點法
頂點 與x軸的交點 與 y軸的交點及它的對稱點
11、二次函數的圖像位置與a，b，c， 的關系
(1) a的正負決定拋物線的開口方向，擋a＞0時，拋物線開口向上；a＜0時，拋物線開口向下；|a|的大小決定拋物線的開口大小，|a|越大，拋物線開口越小，反之越大。
(2) b=0時，拋物線的對稱軸為y軸，若a、b同號，對稱軸在y軸的左側，若a、b異號，對稱軸在y軸的右側，即“左同右異”。
(3) 拋物線與y軸的交點為(0,c)，當c=0時，拋物線過原點，當c＞0時，拋物線與y軸的正半軸相交，當c＜0時，拋物線與y軸的負半軸相交。
⑷ 決定拋物線與x軸的交點個數，當 ＞0時，拋物線與x軸有兩個交點；當 ＜0時，拋物線與x軸有一個交點；當 =0時，拋物線與x軸沒有交點。
13、已知函數關系式，判斷點是否在函數圖像上的方法：
點P（x,y）的坐標適合函數關系式 點P（x,y）在函數圖像上；
點P（x,y）的坐標不適合函數關系式 點P（x,y）不在函數圖像上。
14、用函數關系式確定函數關系式的方法：
⑴由題意設出函數關系式
⑵根據圖像過已知點或通過別的途徑高速的自變量與因變量的對應關系列出關于待定系數的方成（組）
⑶解關于待定系數的方程（組），求出待定系數
⑷將求出的待定條件代回到原來設的關系式中即可求出。需要條件：
正比例函數的表達式y(tǒng)＝kx（k≠0），需要一個獨立條件。
一次函數的表達式y(tǒng)＝kx＋b（k≠0），需要兩個獨立條件。
反比例函數的表達式 （k≠0），需要一個獨立條件。
二次函數的一般形式：y=ax +bx+c (a、b、c為常數，a 0)，需要三個獨立條件。
二次函數的頂點式：y=a(x-h) +k (a 0),其中h、k為拋物線的頂點的橫、縱坐標，需要一個獨立條件以及頂點坐標。
二次函數的交點式：y=a(x-x )(x-x ) (a 0),其中x 、x 為拋物線與x軸交點的橫坐標，需要一個獨立條件以及與x軸的交點坐標。
【典型例題及方法歸納】
例1、已知函數 是一次函數，求其解析式。
解：由一次函數定義知
，故一次函數的解析式為
注意：利用定義求一次函數 解析式時，要保證 。如本例中應保證
例2、已知 中，如果y是x的反比例函數，則m的值為_____________。
析解：由定義知 解得
由于 ，得 ，所以m的值為－1。
例3、已知 中，如果y是x的二次函數，則m的值為_____________。
析解：由定義知 解得
由于 ，得 ，所以m的值為2。
例4、 函數 與 在同一坐標系中的圖象可能是（ ）
析解：由性質知，當 時， 的圖象的兩個分支分別在第一、三象限，此時 的圖象必經過一、三象限，且與y軸交于原點的下方，故可排除B、D；當 時， 的圖象的兩個分支分別在第二、四角限，而 的圖象必經過二、四象限，由此可排除C，故選A。
例5、如圖，拋物線 經過點A（1，0）與y軸交于點B
（1） 求拋物線的關系式；
（2） P是y軸正半軸上的一點，且△PAB是以AB
（3） 為腰的等腰三角形，試求P點的坐標。
分析：（1）把A（1，0）代入 中即可
求出拋物線的關系式；
（2）P點的位置根據線段AB的長確定。
解：（1）∵A（1，0）在拋物線 上
∴ =0, ∴n＝-4
∴拋物線的關系式為
（2）由（1）知，拋物線與y軸交點坐標為（0，-4），連接AB，則AB= =
∵△PAB是等腰三角形，P是y軸正半軸上的一點
①當AB=AP時，∵OA⊥BP ∴OP=OB ∴P點的坐標為（0，4）
②當AB=BP時，∵AB= ， ∴ BP= ∴ OP=BP-OB= -4 ∴P點的坐標為（0， -4）
∴P點的坐標為（0，4）或（0， -4）
點撥：滿足條件的P點有兩個，不能只求出一個。
例6、A區(qū)某鎮(zhèn)地理環(huán)境偏僻,嚴重制約經濟發(fā)展,豐富的花木產品只能在本地銷售,A區(qū)政府對該花木產品每投資x萬元,所獲利潤為P=-(x-30)2+10萬元.為了響應我國西部大開發(fā)的宏偉政策,A區(qū)政府在制定經濟發(fā)展的10年規(guī)劃時,擬開發(fā)此花木產品,開發(fā)前后可用于該項目投資的專項資金每年最多50萬元,若開發(fā)該產品,在前5年中,必須每年從專項資金中拿出25萬元,投資修建一條公路,且5年才能修通,公路修通后, 花木產品除在本地銷售外,還可運往外地銷售,運往外地銷售的花木產品,每投資x萬元可獲利潤Q=-(50-x)2+(50-x)+308萬元.
(1) 若不進行開發(fā),求10年所獲利潤的最大值是多少?
(2) 若按此規(guī)劃進行開發(fā), 求10年所獲利潤的最大值是多少?
(3) 根據(1)(2)的計算結果,請你用一句話談談你的想法.
:運用二次函數的性質是解答此題的關鍵.
解:(1)若不開發(fā)此產品,按照原來的投資方式,
由P=-(X-30)2+10知,
只需從50萬元專項資金中拿出30萬元投資,每年即可獲得最大利潤10萬元,則10年的最大利潤為M1=10×10=100萬元.
(2)若對該花木產品進行開發(fā),在前5年中,當x=25時,
每年最大利潤是:P=-(25-30)2+10=9.5萬元.
則前5年中的最大利潤為M2=9.5×5=47.5萬元
設后5年中的x萬元是用于本地銷售投資.
則由Q=-(50-x)2+(50-x)+308知,
將余下的(50-x)萬元全部用于外地銷售的投資,才有可能獲得最大利潤.
則后5年的利潤是:
M3= ×5+(-x2+x+308)×5
即M3=-5(x-20)2+3500
故當x=20時, M3取最大值為3500萬元.
所以,10年的最大利潤為:M=M2+M3=47.5+3500=3547.5萬元
（3）此題答案不唯一,例如:
因為3547.5>100,由（1）、（2）的結果可知：該項目有極大的開發(fā)價值.
點撥:新的課程標準的理念,重視從實際的問題情境中抽象出數學模型,重視數學問題的解決,增強學生學數學,用數學的意識,此類題目敘述的文字往往較長,因而認真閱讀,審題,明確題目的條件和所有待解決的問題非常重要.
例7、有100m長的籬笆材料，想圍成一矩形倉庫，要求面積不小于600m .在場地的北面有一堵長50m的舊墻，有人用這個籬笆圍成一個長40m,寬10m的倉庫，但面積只有40 10=400 m 不合要求，問應如何設計矩形的長與寬才能符合要求呢？
：根據題意，矩形的周長為100m，面積不小于600 m ，如果設矩形的寬為xm，則長為 =(50-x)m,面積S=x.(50-x).因為面積不小于600 m ，那么就可能為S=600或S>600,當S=600時,可列出方程x(50-x)=600,這就得出了適合條件的一組方案,若面積超過600 m ,則應考慮求S的最大值;還應考慮到已知條件中北面有一堵長50m的舊圍墻,這個條件用上去會有什么樣的結果呢?
如圖,假設矩形的 長與舊墻平行,取矩形的一邊為舊墻,設矩形的寬為xm,則矩形的長為(100-2x)m,面積為600,這也是一種方案.
解:設矩形的寬為xm,則長為(50-x)m,于是面積為S=x(50-x) m
若S恰為600 m 時,則x(50-x)=600
解此方程得x1=20,x2=30
則長為30m或20m,故取矩形長為30m,寬為20m符合設計方案的要求,
由S=x.(50-x)=-x +50x
∴當矩形的長和寬都為25m時,面積可達到625 m .顯然比前一方案更好.同時也可以看出其設計方案有無數種.
若利用場地北面的一堵舊墻,取矩形的長與舊墻平行,以舊墻做一邊,設矩形的寬為xm,則S=x(100-2x)
因為墻長為50m, ∴100-2x 50,即x 25
若 S=600,即x(100-2x)=600
解得x1=25+5 ,x =25-5
由于x 25， ∴x=25+5
即如果利用舊墻，，取矩形寬為（25+5 ）m，也是滿足要求的一種設計方案
但由于S=x(100-2x)=-2x +100x
∴若取矩形的長為50m,寬為25m,則面積的最大值為1250m ,同樣S大于600 m 的設計方案也有無數種。
綜上所述，無論利用舊圍墻與否，都可使面積分別達到最大，即625 m 和1250m 。
點撥：此題是一道與方程和函數有關的綜合開放型問題，應從方程和函數角度分析求解；用自變量表示圖象的各相關的量時，應考慮自變量的取值范圍，同時求解后應注意檢驗。
【實戰(zhàn)演練】
一、填空題
1、若關于x的函數 是一次函數，則m= ，n= 。
2、正比例函數 ，當m 時，y隨x的增大而增大.
3、若函數 圖象經過點（1，2），則m= 。
4、已知函數 ，當 時，函數圖象在第四象限。
5、請你寫出一個反比例函數的解析式，使它的圖象在第一、三象限：
6、若雙曲線經過點A（a，-2a），則a的值為
7、已知 是反比例函數，則m=
8、老師給出了一個函數，甲、乙各指出了這個函數的一個性質：甲：它的圖象在第一、三象限；乙：在每個象限內，y隨x的增大而減小。請你寫一個滿足上述性質的函數
9、下列函數中：①y=－x2；②y=2x；③y=22+x2－x3；④m=3－t－t2是二次函數的是______(其中x、t為自變量)
10、函數y= 是二次函數，當a=_____時，其圖像開口向上；當a=_____時，其圖像開口向下.
11、已知拋物線 ，請回答以下問題：
⑴ 它的開口向 ，對稱軸是直線 ，頂點坐標為 ；
⑵ 圖像與 軸的交點為 ，與 軸的交點為 。
12、頂點為（－2，－5）且過點（1，－14）的拋物線的解析式為 ．
13、二次函數 的值永遠為負值的條件是 0， 0．
14、如圖，在同一直角坐標系中，二次函數的圖像與兩坐標軸分別交于A（－1，0）、點B（3，0）和點C（0，－3），一次函數的圖像與拋物線交于B、C兩點。
⑴二次函數的解析式為 ．
⑵當自變量 時，兩函數的函數值都隨 增大而增大．
⑶當自變量 時，一次函數值大于二次函數值。
⑷當自變量 時，兩函數的函數值的積小于0
15、已知拋物線 與 軸交于點A，與 軸的正半軸交于B、C兩點，且BC=2，S△ABC=3，則 = ， = ．
二、選擇題
1、函數是研究 ( )
A．常量之間的對應關系的 B．常量與變量之間的對應關系的
C．變量與常量之間對應關系的 Ｄ．變量之間的對應關系的
2、下列給出的四個點中，不在直線y=2x-3上的是 （ ）
A.（1， -1） B.（0， -3） C.（2， 1） D.（-1，5）
3、函數y=ax+b與y=bx+a的圖象在同一坐標系內的大致位置正確的是（ ）
A. B. C. D.
4、若 與－3 成反比例， 與 成正比例，則 是 的 （ ）
A 正比例函數 B 反比例函數 C 一次函數 D 不能確定
5、函數 的圖象經過點（－4，6），則下列各點中不在 圖象上的是 （ ）
A （3，8） B （3，－8） C （－8，－3） D （－4，－6）
6、如圖，A為反比例函數 圖象上一點，AB垂直 軸于B點，若
S△AOB＝3，則 的值為 （ ）
A、6 B、3 C、 D、不能確定
7、反比例函數 的圖象在一、三象限，那么 的大致圖象為 （ ）
8、函數y=ax2(a≠0)的圖像與a的符號有關的是（ ）
A 頂點坐標 B 開口方向
C 開口大小 D 對稱軸
9、函數y= x2+2x+1寫成y=a(x－h(huán))2+k的形式是（ ）
A y= (x－1)2+2 B y= (x－1)2+
C y= (x－1)2－3 D y= (x+2)2－1
三、解答題
1、已知直線 .
(1) 求已知直線與y軸的交點A的坐標;
(2) 若直線 與已知直線關于y軸對稱，求k與b的值.
2、如圖，一次函數 的圖像與反比例函數 的圖像
相交于A、B兩點，
（1）利用圖中條件，求反比例函數和一次函數的解析式
（2）根據圖像寫出使一次函數的值大于反比例函數的值
的 的取值范圍
3、已知一次函數 和反比例函數 （ ≠0）
（1） 滿足什么條件時這兩個函數在同一坐標系xoy中圖象有兩個公共交點。
（2）設（1）中的兩個公共點為A，B，則∠AOB是銳角還是鈍角。
4、函數 ( ≠0)與直線 的圖象交于點( ， )．
求：(1) 和 的值；
(2)求拋物線 的開口方向、對稱軸、頂點坐標；(3)作 的草圖．
5、已知，如圖，直線 經過 和 兩點，它與拋物線 在第一象限內相交于點P，又知 的面積為 ，求 的值；
6、某商人如果將進貨價為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現采用提高售出價，減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每漲價1元其銷售量就要減少10件，問他將售出價定為多少元時，才能使每天所賺的利潤最大？并求出最大利潤．
7、某校八年級（1）班共有學生50人，據統(tǒng)計原來每人每年用于購買飲料的平均支出是a元．經測算和市場調查，若該班學生集體改飲某品牌的桶裝純凈水，則年總費用由兩部分組成，一部分是購買純凈水的費用，另一部分是其它費用780元，其中，純凈水的銷售價x(元/桶)與年購買總量y (桶)之間滿足如圖所示關系．
（1）求y與x的函數關系式；
（2）若該班每年需要純凈水380桶，且a 為120時，請你根據提供的信息分析一下：
該班學生集體改飲桶裝純凈水與個人買飲料，哪一種花錢更少？
（3）當
a至少為多少時, 該班學生集體改飲桶裝純凈水一定合算？從計算結果看，你有何感想（不超過30字）？
8、如圖，L1表示某機床公司一天的銷售收入與機床銷售量的關系，L2表示該公司
一天的銷售成本與機床銷售量的關系。
（1）x=1時，銷售收入= 萬元，銷售成本= 萬元，
利潤（收入—成本）= 萬元。
（2）一天銷售 件時，銷售收入等于銷售成本。
（3）L1對應的函數表達式是 。
（4）你能寫出利潤與銷售量之間的函數表達式嗎？
9、商場出售一批進價為2元的賀卡，在營銷中發(fā)現此商品的日銷售單價x（元）與日銷售量y（個）之間有如下關系：
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X∕元 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
y∕個 |
20 |
15 |
12 |
10 |
（1） 根據表中的數據在直角坐標系中描出實數對（x，y）的對應點；
（2） 猜測并確定y與x之間的函數關系式，并畫出函數圖象；
設經營此賀卡的銷售利潤為w元，試求w與x之間的函數關系式，若物價局規(guī)定此賀卡的銷售單價最高不能超過10元∕個，請你求出日銷售單價x定為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤。
10、某機械租賃公司有同一型號的機械設備40套。經過一段時間的經營發(fā)現：當每套機械設備的月租金為270元時，恰好全部租出。在此基礎上，當每套設備的月租金每提高10元時，這種設備就少租出一套，且沒租出的一套設備每月需支出費用（維護費、管理費等）20元。設每套設備的月租金為x（元），租賃公司出租該型號設備的月收益（收益＝租金收入－支出費用）為y（元）。
（1）用含x的代數式表示未出租的設備數（套）以及所有未出租設備（套）的支出費
（2）求y與x之間的二次函數關系式；
（3）當月租金分別為300元和350元式，租賃公司的月收益分別是多少元？此時應該出租多少套機械設備？請你簡要說明理由；
（4）請把（2）中所求出的二次函數配方成 的形式，并據此說明：當x為何值時，租賃公司出租該型號設備的月收益最大？最大月收益是多少？
